Question

2．函数f（x）的定义域是R，f（2）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e^x•f（x）＞e^x+e²的解集为（　　）

• A． {x|x＞2}
• B． {x|x＜2}
• C． {x|x＜-2或x＞2}
• D． {x|x＜-2或0＜x＜2}

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^x•f（x）-e^x，求函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的单调性进行求解不等式即可．

解答 解：令g（x）=e^x•f（x）-e^x，
则g′（x）=e^x•[f（x）+f′（x）-1]
∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，
∴g′（x）＞0恒成立
即g（x）=e^x•f（x）-e^x在R上为增函数
又∵f（2）=2，∴g（2）=e²•f（2）-e²=2e²-e²=e²，
故不等式e^x•f（x）＞e^x+e²，
等价为e^x•f（x）-e^x＞e²，
即g（x）＞g（2），
解得x＞2，
故不等式e^x•f（x）＞e^x+e²的解集为{x|x＞2}，
故选：A

点评 本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g（x）=e^x•f（x）-e^x，利用函数单调性和导数之间的关系是解答的关键．