Question

15．已知A，B两个批发市场，商品的批发价相同，但是某地区的居民从两地运回商品时，每单位距离的运费不同，A地的运费是B地的两倍，已知A，B相距100公里，问：A，B两地批发市场售货区域分界线设在何处对居民进货有利？

Answer 1

分析 以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，求出由P地到A、B两地购物总费用，可求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，进而根据P的位置，即可得出结论．

解答 解：如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，
∵|AB|=100，∴A（-50，0），B（50，0）．
设P（x，y），P到A、B两地购物的运费分别是2a、a（元/公里）．
当由P地到A、B两地购物总费用相等时，有：价格+A地运费=价格+B地运费，
得2a$\sqrt{（x+50）^{2}+{y}^{2}}$=a$\sqrt{（x-50）^{2}+{y}^{2}}$，化简整理得
$（x+\frac{250}{3}）^{2}+{y}^{2}$=$\frac{40000}{9}$，
∴（1）当P点在圆上时，居民到A地或B地购物总费用相等．
（2）当P点在上述圆内时，到A地购物合算．
（3）当P点在上述圆外时，到B地购物合算．

点评 本题考查轨迹方程，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．