题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,,,为的中点.
(1)证明:平面;
(2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】分析:(1)根据等腰三角形性质得PO垂直AC,再通过计算,根据勾股定理得PO垂直OB,最后根据线面垂直判定定理得结论,(2)根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解出平面PAM一个法向量,利用向量数量积求出两个法向量夹角,根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程,解得M坐标,再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余得结果.
详解:(1)因为,为的中点,所以,且.
连结.因为,所以为等腰直角三角形,
且,.
由知.
由知平面.
(2)如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.
由已知得取平面的法向量.
设,则.
设平面的法向量为.
由得,可取,
所以.由已知得.
所以.解得(舍去),.
所以.又,所以.
所以与平面所成角的正弦值为.
【题目】某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系,经过调查得出了如下数据:
间隔时间(分钟) | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等待人数(人) | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
调查小组先从这六组数据中选取四组数据作线性回归分析,然后用剩下的两组数据进行检验
(1)求从这六组数据中选取四组数据后,剩下的的两组数据不相邻的概率:
(2)若先取的是后面四组数据,求关干的线性回归方程;
(3)规定根据(2)中线性回归方程预利的数据与用剩下的两组实际数据相差不超过人,则所求出的线性回归方程是“最佳回归方程”,请判断(2)中所求的是 “最佳回归方程”吗?为了使等候的乘客不超过人,则间隔时间设置为分钟合适吗?
附:对于一组组数据, 其回归直线 +的斜率和截距的最小二乘估计分别为: ,