Question

已知在区间上是增函数.
（1）求实数的值组成的集合；
（2）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及 恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）实数a的值组成的集合；
（2）存在实数，使得不等式对任意及 恒成立．

解析试题分析：（1）先求出函数的导数，将条件在区间上为增函数这一条件转化为在区间上恒成立，结合二次函数的图象得到，从而解出实数的取值范围；（2）先将方程转化为一元二次方程，结合韦达定理得到与，然后利用
将用参数进行表示，进而得到不等式对任意
及恒成立，等价转化为对任意恒成立，将不等式
转化为以为自变量的一次函数不等式恒成立，只需考虑相应的端点值即可，从而解出参数的取值范围.
试题解析：（1）因为在区间上是增函数，
所以，在区间上恒成立，
，
所以，实数的值组成的集合；
（2）由 得，即，
因为方程，即的两个非零实根为、，
、是方程两个非零实根，于是，，
，
，，
设，，
则，
若对任意及恒成立，
则，解得或，
因此，存在实数或，使得不等式对任意及恒成立.
考点：1.函数的单调性；2.二次函数的零点分布；3.韦达定理；4.主次元交换