题目内容
【题目】已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 
+ 
= 
．
（1）求b的值；
（2）若cosB+ 
sinB=2，求a+c的取值范围．
【答案】
（1）解：△ABC中， 
+ 
= 
，
∴ 
+ 
= 
，
∴ 
= ，
解得b= 
；
（2）解：∵cosB+ 
sinB=2，
∴cosB=2﹣ sinB，
∴sin2B+cos2B=sin2B+ 
=4sin2B﹣4 sinB+4=1，
∴4sin2B﹣4 sinB+3=0，
解得sinB= ；
从而求得cosB= 
，
∴B= 
；
由正弦定理得 
= 
= 
= 
=1，
∴a=sinA，c=sinC；
由A+B+C=π得A+C= 
，
∴C= ﹣A，且0＜A＜ ；
∴a+c=sinA+sinC
=sinA+sin（ ﹣A）
=sinA+sin cosA﹣cos sinA
= 
sinA+ cosA
= sin（A+ 
），
∵0＜A＜ ，∴ ＜A+ ＜ 
，
∴ ＜sin（A+ ）≤1，
∴ ＜ sin（A+ ）≤ ，
∴a+c的取值范围是（ ， ]．
【解析】（1）应用正弦、余弦定理化简 
+ 
= 
，即可求出b的值；（2）根据cosB+ 
sinB=2与平方关系sin2B+cos2B=1，求得sinB、cosB，从而求得B的值，再由正弦定理求得a=sinA，c=sinC；利用A+B+C=π求得C= 
﹣A，且0＜A＜ ；
再利用三角恒等变换求a+c=sinA+sinC的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定理:
才能正确解答此题．
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