题目内容
如图,焦距为的椭圆
的两个顶点分别为
和
,且
与n
,
共线.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆
有两个不同的交
点和
,且原点
总在以
为直径的圆的内部,求实数
的取值范围.
(1) ;(2)
解析试题分析:(1)根据椭圆方程写出顶点的坐标,然后写出
的坐标,利用两向量共线的充要条件:
,得
与
的关系,结合
,解出
与
,求出椭圆的方程;(2)设直线
,与椭圆
有两个不同的交点
和
,设
,将直线方程代入椭圆方程,消去
,得到关于
的方程,由两个不同交点,
,并且得到
与
,
原点
总在以
为直径的圆的内部,
为钝角,即
,整理,代入根与系数的关系,比较
得出
的取值范围.
试题解析:(1)解:设椭圆的标准方程为
,由已知得
,
,
,
,所以
,
,
因为与n
,
共线,所以
, 2分
由,解得
,
,
所以椭圆的标准方程为
. 4分
(2)解:设,
,
,
,把直线方程
代入椭圆方程
,
消去,得
,
所以,
, 8分
,即
(*) 9分
因为原点总在以
为直径的圆的内部,
所以,即
, 10分
又,
由得
, 13分
依题意且满足(*)得
故实数的取值范围是
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