Question

20．已知定义在区间$[\;-π\;，\;\frac{2}{3}π\;]$上的函数y=f（x）的图象关于直线x=-$\frac{π}{6}$对称，当$x∈[\;-\frac{π}{6}\;，\;\frac{2}{3}π\;]$时，函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）$（A＞0\;，\;ω＞0\;，\;-\frac{π}{2}＜ϕ＜\frac{π}{2}）$，其图象如图．
（1）求函数y=f（x）在$[\;-π\;，\;\frac{2}{3}π\;]$的表达式；
（2）求方程f（x）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的解．
（3）写出不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$的解集（不需要过程）

Answer 1

分析 （1）当$x∈[\;-\frac{π}{6}\;，\;\frac{2}{3}π\;]$时，由观察图象易得A，T的值，由周期公式可求ω，由点（$\frac{π}{6}$，1）在函数图象上，结合φ范围可求φ的值，
由函数y=f（x）的图象关于直线$x=-\frac{π}{6}$对称得，$x∈[\;-π\;，\;-\frac{π}{6}\;]$时，函数f（x）=-sinx，即可得解．
（2）由（1）可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sin（x+\frac{π}{3}）\;\;\;\;x∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]\\-sinx\;\;\;\;\;\;\;\;\;x∈[-π，-\frac{π}{6}）\end{array}\right.$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，分类讨论，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
（3）由（1）可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sin（x+\frac{π}{3}）\;\;\;\;x∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]\\-sinx\;\;\;\;\;\;\;\;\;x∈[-π，-\frac{π}{6}）\end{array}\right.$$＞\frac{1}{2}$，分类讨论，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）当$x∈[\;-\frac{π}{6}\;，\;\frac{2}{3}π\;]$时，
函数$f（x）=Asin（ωx+φ）\;\;（A＞0\;，\;ω＞0\;，\;-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}）$，
观察图象易得：A=1，T=4（$\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$）=$\frac{2π}{ω}$，可得：ω=1，
由点（$\frac{π}{6}$，1）在函数图象上，可得：sin（$\frac{π}{6}$+φ）=1，结合-$\frac{π}{2}≤$φ$≤\frac{π}{2}$范围，可求φ=$\frac{π}{3}$，
即函数$f（x）=sin（x+\frac{π}{3}）$，
由函数y=f（x）的图象关于直线$x=-\frac{π}{6}$对称得，$x∈[\;-π\;，\;-\frac{π}{6}\;]$时，函数f（x）=-sinx．
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sin（x+\frac{π}{3}）\;\;\;\;x∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]\\-sinx\;\;\;\;\;\;\;\;\;x∈[-π，-\frac{π}{6}）\end{array}\right.$．
（2）∵由（1）可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sin（x+\frac{π}{3}）\;\;\;\;x∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]\\-sinx\;\;\;\;\;\;\;\;\;x∈[-π，-\frac{π}{6}）\end{array}\right.$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴当$x∈[\;-\frac{π}{6}\;，\;\frac{2}{3}π\;]$时，
由$sin（x+\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得，$x+\frac{π}{3}=\frac{π}{4}或\frac{3π}{4}⇒x=-\frac{π}{12}或x=\frac{5π}{12}$；
当$x∈[\;-π\;，\;-\frac{π}{6}\;]$时，由$-sinx=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得，$x=-\frac{3π}{4}或x=-\frac{π}{4}$．
∴方程$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的解集为$\{\;-\frac{3π}{4}\;，\;-\frac{π}{4}\;，\;-\frac{π}{12}\;，\;\frac{5π}{12}\;\}$．
（3）∵由（1）可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sin（x+\frac{π}{3}）\;\;\;\;x∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]\\-sinx\;\;\;\;\;\;\;\;\;x∈[-π，-\frac{π}{6}）\end{array}\right.$$＞\frac{1}{2}$，
∴不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$的解集是：{x/-$\frac{5π}{6}$＜x＜$-\frac{π}{6}$，}∪{x/$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{5π}{6}$}．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，三角函数的化简求值，属于基本知识的考查．