题目内容

11.在△ABC中,内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足2bcosB=acosC+ccosA,若b=$\sqrt{3}$,则a+c的最大值为(  )
A.$2\sqrt{3}$B.3C.$\frac{3}{2}$D.9

分析 利用正弦定理化边为角,可求导cosB,由此可得B,由余弦定理可得:3=a2+c2-ac,由基本不等式可得:ac≤3,代入:3=(a+c)2-3ac可得a+c的最大值.

解答 解:2bcosB=ccosA+acosC,
由正弦定理,得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC,
∴2sinBcosB=sinB,
又sinB≠0,
∴cosB=$\frac{1}{2}$,
∴B=$\frac{π}{3}$.
∵由余弦定理可得:3=a2+c2-ac,
∴可得:3≥2ac-ac=ac,
∴即有:ac≤3,代入:3=(a+c)2-3ac可得:(a+c)2=3+3ac≤12,
∴a+c的最大值为2$\sqrt{3}$.
故选:A.

点评 该题考查正弦定理、余弦定理及其应用,基本不等式的应用,考查学生运用知识解决问题的能力,属于中档题.

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