题目内容
在△ABC中,已知=3.
(1)求证:tan B=3tan A;
(2)若cos C=,求A的值.
(1)求证:tan B=3tan A;
(2)若cos C=,求A的值.
(1)见解析(2)A=
(1)因为=3,所以AB·AC·cos A=3BA·BC·cos B,
即AC·cos A=3BC·cos B,由正弦定理知,
从而sin Bcos A=3sin Acos B,
又因为0<A+B<π,所以cos A>0,cos B>0,所以tan B=3tan A.
(2)因为cos C=,0<C<π,所以sin C==,
从而tan C=2,于是tan[π-(A+B)]=2,即tan(A+B)=-2,
亦即=-2,由(1)得=-2,解得tan A=1或-,
因为cos A>0,故tan A=1,所以A=.
即AC·cos A=3BC·cos B,由正弦定理知,
从而sin Bcos A=3sin Acos B,
又因为0<A+B<π,所以cos A>0,cos B>0,所以tan B=3tan A.
(2)因为cos C=,0<C<π,所以sin C==,
从而tan C=2,于是tan[π-(A+B)]=2,即tan(A+B)=-2,
亦即=-2,由(1)得=-2,解得tan A=1或-,
因为cos A>0,故tan A=1,所以A=.
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