题目内容
【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,点
的极坐标为
.
(1)求的直角坐标方程和
的直角坐标;
(2)设与
交于
,
两点,线段
的中点为
,求
.
【答案】(1),
(2)
【解析】
(1)利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程,把点P的极坐标化成直角坐标;
(2)把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程,根据韦达定理以及参数t的几何意义可得.
(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,将ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为
y2=1,
设点P的直角坐标为(x,y),因为P的极坐标为(,
),
所以x=ρcosθcos
1,y=ρsinθ
sin
1,
所以点P的直角坐标为(1,1).
(2)将代入
y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,
因为△=1102﹣4×41×25=8000>0,故可设方程的两根为t1,t2,
则t1,t2为A,B对应的参数,且t1+t2,
依题意,点M对应的参数为,
所以|PM|=||
.
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