题目内容
【题目】已知函数f(x)=(
)|x|,若函数g(x)=f(x﹣1)+a(ex﹣1+e﹣x+1)存在最大值M,则实数a的取值范围为_____
【答案】a≤0
【解析】
由函数f(x)=(
)|x|对称性和单调性可得f(x﹣1)的对称性和单调性，由h(x)=ex﹣1+e﹣x+1的对称性和单调性，通过讨论
得g(x)=f(x﹣1)+a(ex﹣1+e﹣x+1)得对称性和单调性，利用对称性和单调性可得结果.
显然f(x)=()|x|是偶函数,且f(x)在
上单调递减,
故y=f(x﹣1)的函数图象关于直线x=1对称,且y=f(x﹣1)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
令h(x)=ex﹣1+e﹣x+1,则h(1+x)=ex+e﹣x,h(1﹣x)=e﹣x+ex,故h(1﹣x)=h(1+x),
∴h(x)的图象关于直线x=1对称,
故g(x)=f(x)+ah(x)的图象关于直线x=1对称.
∵g(x)由最大值M,∴g(x)在[1,+∞)上有最大值M.
h′(x)=ex﹣1
,
∴x>1时,h′(x)>0,∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,
(1)若a≤0,则g(x)=f(x﹣1)+ah(x)在[1,+∞)上单调递减,
故g(x)存在最大值,符合题意.
(2)若a>0,当x≥1时,g′(x)=﹣()x﹣1ln2+a(ex﹣1),
显然g′(x)是增函数,故g′(x)≥g′(1)=﹣1,
又x→+∞时,g′(x)→+∞,故存在x0∈(1,+∞),使得当x>x0时,g′(x)>0,
∴g(x)在(x0,+∞)上单调递增,故g(x)不存在最大值,不符合题意.
综上,a≤0.
故答案为：a≤0
【题目】为了解某地区初中学生的体质健康情况,统计了该地区8所学校学生的体质健康数据,按总分评定等级为优秀,良好,及格,不及格.良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表:
比例 学校 等级 | 学校A | 学校B | 学校C | 学校D | 学校E | 学校F | 学校G | 学校H |
优秀 | 8% | 3% | 2% | 9% | 1% | 22% | 2% | 3% |
良好 | 37% | 50% | 23% | 30% | 45% | 46% | 37% | 35% |
及格 | 22% | 30% | 33% | 26% | 22% | 17% | 23% | 38% |
不及格 | 33% | 17% | 42% | 35% | 32% | 15% | 38% | 24% |
(1)从8所学校中随机选出一所学校,求该校为先进校的概率；
(2)从8所学校中随机选出两所学校,记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X,求X的分布列；
(3)设8所学校优秀比例的方差为S12,良好及其以下比例之和的方差为S22,比较S12与S22的大小.(只写出结果)
