题目内容
【题目】对于定义在上的函数
,若存在正常数
、
,使得
对一切
均成立,则称
是“控制增长函数”,在以下四个函数中:①
;②
;③
;④
.是“控制增长函数”的有( )
A.②③B.③④C.②③④D.①②④
【答案】C
【解析】
假设各函数为“控制增长函数”,根据定义推倒恒成立的条件,判断
,
的存在性即可得出答案.
解:对于①,可化为:
,
即,即
对一切
均成立,
由函数的定义域为,故不存在满足条件的正常数
、
,故
不是“控制增长函数”;
对于②,若是“控制增长函数”,则
可化为:
,
∴恒成立,又
,
∴,∴
,显然当
时式子恒成立,
∴是“控制增长函数”;
对于③,∵,∴
,
∴当时,
为任意正数,使
恒成立,故
是“控制增长函数”;
对于④,若是“控制增长函数”,则
恒成立,
∵,∴
,即
,
∴是“控制增长函数”.
故选:C
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