题目内容
【题目】如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道(
,
是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口
是
的中点,
分别落在线段
上.已知
米,
米,记
.
(1)试将污水净化管道的总长度 (即
的周长)表示为
的函数,并求出定义域;
(2)问当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的总长度.
(提示: .)
【答案】(1),定义域为
.(2)当
或
时所铺设的管道最短,为
米.
【解析】试题分析:(1)如图,因为都是直角三角形,故可以得到
,也就是
,其中
.(2)
可变形为
,令
后,则有
,其中
,故
取的最大值
米.
解析:(1).
由于,
,所以
,故
.管道的总长度
,定义域为
.
(2) . 设
,则
,所以
. 因为
在
内单调递减,于是当
时,
取的最大值
米. (此时
或
).
答:当或
时所铺设的管道最短,为
米.
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