Question

【题目】已知点A的坐标为（4，1），点B（﹣7，﹣2）关于直线y=x的对称点为C．
（Ⅰ）求以A、C为直径的圆E的方程；
（Ⅱ）设经过点A的直线l与圆E的另一个交点为D，|AD|=8，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）点B（﹣7，﹣2）关于直线y=x的对称点为C（﹣2，﹣7），

∵AC为直径，AC中点E的坐标为（1，﹣3），

∴圆E的半径为|AE|=5，

∴圆E的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=25．

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，易求|AD|=8，此时直线l的方程为x=4，

当直线l的斜率存在时，设l：y﹣1=k（x﹣4），

∴圆心E到直线l的距离d= ，

∵圆E的半径为5，|AD|=8，所以d=3，

∴ =3，解得k= ，

∴直线l的方程为7x﹣24y﹣4=0．

综上所述，直线l的方程为x=4或7x﹣24y﹣4=0

【解析】（Ⅰ）先根据题意求得点C的坐标，进而求得以线段AC为直径的圆的圆心坐标及半径，即可求得圆E的方程；（Ⅱ）求直线方程时，先根据直线斜率是否存在进行分类讨论.