Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|，不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）≤3，得|x﹣a|≤3，
∴a﹣3≤x≤a+3，
又f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．
∴ ，解得：a=2；
（Ⅱ）∵f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x﹣3）|=5．
又f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，
∴m≤5
【解析】（Ⅰ）由f（x）≤3求解绝对值的不等式，结合不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]列式求得实数a的值；（Ⅱ）利用绝对值的不等式放缩得到f（x）+f（x+5）≥5，结合f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，即可求得实数m的取值范围．