题目内容
【题目】设点,动圆
经过点
且和直线
相切,记动圆的圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)设曲线上一点
的横坐标为
,过
的直线交
于一点
,交
轴于点
,过点
作
的垂线交
于另一点
,若
是
的切线,求
的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)先利用抛物线的定义判定动点轨迹是一个抛物线,再利用待定系数法求出抛物线的方程;(2)设出直线方程,联立直线和抛物线的方程,得到关于的一元二次方程,利用根与系数的关系和导数的几何意义进行求解.
试题解析:(1)过点作直线
垂直于直线
于点
,由题意得
,所以动点
的轨迹是以
为焦点,直线
为准线的抛物线.所以抛物线
得方程为
.
(2)由题意知,过点的直线
斜率存在且不为
,设其为
,则
,当
,则
.联立方程
,整理得:
.即
,解得
或
,
,而
,所以直线
斜率为
,
,联立方程
,整理得:
,即
,解得
,或
.
.
而抛物线在点的切线斜率,
,
是抛物线的切线,
,整理得
,解得
(舍去),或
.
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