Question

设a为实常数，已知函数在区间[1，2]上是增函数，且在区间[0，1]上是减函数。
(Ⅰ)求常数的值；
(Ⅱ)设点P为函数图象上任意一点，求点P到直线距离的最小值；
（Ⅲ）若当且时，恒成立，求的取值范围。

Answer 1

(Ⅰ)
（Ⅱ）
（Ⅲ）(－∞，1]

(Ⅰ)因为在区间[1，2]上是增函数，则
当x∈[1，2]时，恒成立，即恒成立，所以。       （2分）
又在区间[0，1]上是减函数，则
当x∈(0，1]时，恒成立，即恒成立，所以。
综上分析，。                                                         （4分）
(Ⅱ)因为，则。
令，则，。
所以函数图象上点处的切线与直线平行。        （6分）
设所求距离的最小值为d，则d为点到直线的距离，
故。                                               （8分）
(Ⅲ)因为，则。因为当时，，所以在(0，1]上是减函数，从而。              （9分）
因为当时，恒成立，则。        （10分）
又当时，恒成立，则在时恒成立。   （11分）
因为在时是减函数，所以，从而，即。
故b的取值范围是(－∞，1]。                                                  (13分)