Question

【题目】设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
（1）若p=2且∠BFD=90°时，求圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，设直线m与抛物线C的另一个交点为E，在y轴上求一点G，使得∠OGE=∠OGA．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得F（0，1），△BFD为等腰直角三角形，|BD|=4，

⊙F的半径|FB|=2 ，

∴⊙F的方程是x2+（y﹣1）2=8；

（2）解：∵A，B，F三点在同一直线m上，

∴AB是⊙F的直径，∠ADB=90°，

由抛物线的定义得|AD|=|FA|= |AB|，

∴∠ABD=30°，m的斜率是 或﹣ ，

①当m的斜率是 时，直线m的方程是：y= x+ ，

代入x2=2py，x2﹣ px﹣p2=0，（△＞0），

解得：x1= p，x2=﹣ p，

不妨记A（ p， p），E（﹣ p， ），并设G（0，y0），

∵∠OGE=∠OGA，∴KGE+KGA=0，

即 + =0，解得：y0=﹣ ，

②当m的斜率为﹣ 时，由图象的对称性可知G（0，﹣ ），

综上，点G的坐标是（0，﹣ ）．

【解析】（1）求出圆的半径，从而求出圆的方程；（2）由抛物线的定义得|AD|=|FA|= |AB|，从而求出m，代入抛物线进而求出G的坐标．