题目内容

14.如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.
(Ⅰ)求证:PC⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的余弦值.

分析 (Ⅰ)根据线面垂直的判定定理即可证明PC⊥平面ABC;
(Ⅱ)建立坐标系,利用向量法即可求二面角B-AP-C的余弦值.

解答 证明:(Ⅰ)取AB的中点D,连结PD,CD.
∵AP=BP,∴PD⊥AB.
∵AC=BC,∴CD⊥AB.
∵PD∩CD=D,
∴AB⊥平面PCD.----(3分)
∵PC?平面PCD,
∴PC⊥AB,
又∵PC⊥AC,
∴PC⊥平面ABC-----(6分)
(Ⅱ)如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).
设P(0,0,t).---(8分)
∵|PB|=|AB|=2$\sqrt{2}$,
∴t=2,P(0,0,2).----(9分)
取AP中点E,连结BE,CE.
∵|AC|=|PC|,|AB|=|BP|,
∴CE⊥AP,BE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
∵E(0,1,1),$\overrightarrow{EC}=(0,-1,-1)$,$\overrightarrow{EB}=(2,-1,-1)$,
∴cos$∠BEC=\frac{\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{EB}}{|\overrightarrow{EB}||\overrightarrow{EC}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴二面角B-AP-C的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

点评 本题主要考查线面垂直的判定以及二面角的求解,建立坐标系,利用向量法是解决空间角的常用方法.

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