Question

5．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）若c=2，△ABC的面积S=$\sqrt{3}$，求a，b．
（Ⅱ）若cos（B-A）+cosC+2cos2A=2，求A．

Answer 1

分析 （I）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出；
（II）利用两角和差的余弦公式、正弦定理余弦定理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意$\frac{1}{2}absin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，即ab=4，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
∴a²+b²-ab=4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}-ab=4}\\{ab=4}\end{array}\right.$，解得a=2，b=2；
（Ⅱ）∵cosC=-cos（B+A），
∴cos（B-A）-cos（A+B）=2-2cos2A，
∴2sinBsinA=4sin²A，
即sinB=2sinA，
由正弦定理得b=2a，
由余弦定理c²=a²+b²-2ab$cos\frac{π}{3}$=3a²，
∴b²=a²+c²，B=$\frac{π}{2}$，
∵C=$\frac{π}{3}$，
∴A=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、两角和差的余弦公式、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．