题目内容
【题目】已知椭圆经过点
,且长轴长是短轴长的2倍.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点在椭圆上运动,点
在圆
上运动,且总有
,求
的取值范围;
(3)过点的动直线
交椭圆于
、
两点,试问:在此坐标平面上是否存在一个点
,使得无论
如何转动,以
为直径的圆恒过点
?若存在,请求出点
的坐标;若不存在,请说明由.
【答案】(1).(2)
(3)存在,
【解析】
(1)根据长轴长是短轴长的2倍,可得之间的关系,把点的坐标代入椭圆方程中,这样可以求出
的值,进而求出椭圆的标准方程;
(2)设,求出圆
的圆心坐标,根据两点间距离公式写出
的表达式,根据椭圆的范围,求出
的取值范围,根据圆的半径和
的大小关系,进行分类讨论,最后求出
的取值范围;
(3)由对称性可知,点一定位于
轴上,设
,
,
,
根据题意可以判断,根据直线
是否存在斜率进行分类讨论.当存在斜率时,直线
方程与椭圆方程联立,利用根与系数的关系,结合
,可以判断存在定点满足题意,并求出定点;当不存在斜率时,解方程组,最后判断是否满足刚得到定点条件.
(1)因为长轴长是短轴长的2倍,所以有,椭圆过点
,所以有:
所以椭圆的标准方程为
;
(2)设,
,
则,
,
∴,∴
,
①时,
,
②时,
,
综上,.
(3)由对称性可知,点一定位于
轴上,
设,
,
,
则(*),
①的斜率存在时,设
,代入椭圆方程,
得,
,
则(*)式为,
即,
,
整理,得,
∴,得
.
②的斜率不存在时,
,代入椭圆方程,得
,
∴此时以为直径的圆的方程为
,也经过点
.
综上,存在满足题设条件.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为评估设备生产某种零件的性能,从设备
生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径 | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算,样本的平均值,标准差
,以频率值作为概率的估计值,用样本估计总体.
(1)将直径小于等于或直径大于
的零件认为是次品,从设备
的生产流水线上随意抽取3个零件,计算其中次品个数
的数学期望
;
(2)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行评判(
表示相应事件的概率):①
;②
;③
.评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备
的性能等级并说明理由.