题目内容

【题目】已知椭圆经过点,且长轴长是短轴长的2倍.

1)求椭圆的标准方程;

2)若点在椭圆上运动,点在圆上运动,且总有,求的取值范围;

3)过点的动直线交椭圆于两点,试问:在此坐标平面上是否存在一个点,使得无论如何转动,以为直径的圆恒过点?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明由.

【答案】1.(23)存在,

【解析】

1)根据长轴长是短轴长的2倍,可得之间的关系,把点的坐标代入椭圆方程中,这样可以求出的值,进而求出椭圆的标准方程;

2)设,求出圆的圆心坐标,根据两点间距离公式写出的表达式,根据椭圆的范围,求出的取值范围,根据圆的半径和的大小关系,进行分类讨论,最后求出的取值范围;

3)由对称性可知,点一定位于轴上,设

根据题意可以判断,根据直线是否存在斜率进行分类讨论.当存在斜率时,直线方程与椭圆方程联立,利用根与系数的关系,结合,可以判断存在定点满足题意,并求出定点;当不存在斜率时,解方程组,最后判断是否满足刚得到定点条件.

1)因为长轴长是短轴长的2倍,所以有,椭圆过点

,所以有:所以椭圆的标准方程为

2)设

,∴

时,

时,

综上,

3)由对称性可知,点一定位于轴上,

*),

的斜率存在时,设,代入椭圆方程,

则(*)式为

整理,得

,得

的斜率不存在时,,代入椭圆方程,得

∴此时以为直径的圆的方程为,也经过点

综上,存在满足题设条件.

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