题目内容
【题目】设等差数列的公差
,前
项和为
,且满足
,
(1)试寻找一个等差数列和一个非负常数
,使得等式
对于任意的正整数
恒成立,并说明你的理由;
(2)对于(1)中的等差数列和非负常数
,试求
(
)的最大值.
【答案】(1),详见解析(2)
【解析】
(1)由,
,可得
,
,解得
.可得
.由
对于任意的正整数
恒成立,可得
.分别令
,及其
,即可解得
.
(2)由(1)可得:,
,
,公差
.可得
.于是
.令
,(
),利用导数研究其单调性最值即可得出.
解:(1),
,
,
,
解得,
.
.
.
对于任意的正整数
恒成立,
.
分别令,则
,
,
.
可得,
,
.
数列
是等差数列,
.
化为:,解得
或
.
,
.
(2)由(1)可得:,
,
,公差
.
.
.
令,(
),
,
可得:时,
,函数
单调递减;
时,
,函数
单调递增.
又,
.
因此当时,
时,
取得最小值
,
故时,
取得最大值
.
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