题目内容
【题目】已知椭圆
与圆
：
有且仅有两个公共点，点
、
、
分别是椭圆
上的动点、左焦点、右焦点，三角形
面积的最大值是
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点在椭圆第一象限部分上运动，过点作圆的切线
，过点作
的垂线
，求证：，交点
的纵坐标的绝对值为定值．
【答案】（1）
（2）见证明
【解析】
（1）根据椭圆与圆有且仅有两个公共点，以及椭圆和圆的对称性，三角形
面积的最大值是
，可以求出
的值，得到椭圆的方程．
（2）设出
坐标，根据面积相等及勾股定理得到
之间的等量关系，得到点
之间的坐标关系，再由
，将
点坐标用
点坐标表示出来，即可证明点纵坐标的绝对值为定值．
（1）依题意
，解得
， 所以椭圆
的方程是
．
（2）设点
，
，则
，设直线
与圆
的切点为
，
由几何知识得到：
，
，
所以
=
，即
+
=，
又因为，所以
，
代入上式得：
，
所以
，即
为定值．
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