Question

【题目】已知椭圆与圆：有且仅有两个公共点，点、、分别是椭圆上的动点、左焦点、右焦点，三角形面积的最大值是．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点在椭圆第一象限部分上运动，过点作圆的切线，过点作的垂线，求证：，交点的纵坐标的绝对值为定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明

【解析】

（1）根据椭圆与圆有且仅有两个公共点，以及椭圆和圆的对称性，三角形面积的最大值是，可以求出的值，得到椭圆的方程．

（2）设出坐标，根据面积相等及勾股定理得到之间的等量关系，得到点之间的坐标关系，再由，将点坐标用点坐标表示出来，即可证明点纵坐标的绝对值为定值．

（1）依题意，解得， 所以椭圆的方程是．

（2）设点，，则，设直线与圆的切点为，

由几何知识得到：，，

所以=，即+=，

又因为，所以，

代入上式得：，

所以，即为定值．