题目内容
【题目】已知函数
.
(1)若函数在
上是增函数,求正数
的取值范围;
(2)当时,设函数
的图象与x轴的交点为
,
,曲线
在
,
两点处的切线斜率分别为
,
,求证:
+
.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】
(1)由题意,求得函数的导数,设
,分离参数转化为
在
上恒成立,设
,利用导数求得函数
的单调性,得到函数
的最值,即可得到实数
的取值范围;
(2)由,得
,
,不妨设
,利用导数求得
两点的斜率,得到
+
,设
,利用导数求得函数
的单调性与最大值,即可作出证明.
(1)
,∴
,
设,
函数
在
上是增函数,∴
在
上恒成立,即
在
上恒成立,
设,则
,
,∴
,∴
在
上是增函数,
∴,由
在
上恒成立,得
,
,
∴,即
的取值范围是
.
(2)
,
由
,得
,
,不妨设
.
,
,
,
+
,
设,则
,
时,
,
时,
,所以
为
的极大值点,所以
的极大值即最大值为
,即
,
∵且
,∴
且
,
∴,∴
+
.
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练习册系列答案
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