题目内容
【题目】在直角坐标系
中，曲线
：
与直线
：
交于
，
两点.
（1）若
的面积为
，求
；
（2）
轴上是否存在点
，使得当变动时，总有
？若存在，求以线段
为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，方程为
（或
）
【解析】
（1）联立直线与抛物线方程，设出
，
两点坐标，结合韦达定理，由弦长公式求出
，由点到直线距离公式求出
到
的距离，再由
即可求出结果；
（2）
等价于直线
，
倾斜角互补，所以只需求出使直线，斜率之和为
的
点坐标即可，进而可求出结果.
解：（1）将
代入
，得
，
设
，
，则
，
，
从而
.
因为到的距离为
，
所以
的面积
，
解得.
（2）存在符合题意的点，证明如下：
设
为符合题意的点，直线，的斜率分别为
，
.
从而
.
当
时，有
，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，
故，所以点
符合题意.
故以线段
为直径的圆的方程为（或）
【题目】近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如下表：
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
工业增加值 | 13.2 | 13.8 | 16.5 | 19.5 | 20.9 | 22.2 | 23.4 | 23.7 | 24.8 | 28 |
依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
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5.5 | 20.6 | 82.5 | 211.52 | 129.6 |
（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值
（万亿元）与年份序号
的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数
，其拟合指数
；研究人员乙采用函数
，其拟合指数
；研究人员丙采用线性函数
，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.（注：相关系数
与拟合指数
满足关系
）.
（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.
附：样本
的相关系数
，
，
，
.
