Question

【题目】已知点，点为曲线上的动点，过作轴的垂线，垂足为，满足。

（1）求曲线的方程；

（2）直线与曲线交于两不同点,（ 非原点），过,两点分别作曲线的切线，两切线的交点为。设线段的中点为，若，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）k=

【解析】

（1）将坐标化，化简求得结果.

（2）设直线的方程为： ，与抛物线方程联立得，由韦达定理求得中点N的坐标，由导数的几何意义可求得过点的切线方程，联立求得交点的坐标，得到,所以MN中点纵坐标为1，即2，进而求得k.

（1）由得：

化简得曲线的方程为.

（2）由题意可知直线l的斜率存在，

设直线的方程为：，联立得：

设，，则，

设，则，

又曲线的方程为，即y=,=，

∴过点的切线斜率为，切线方程为y-，即y=

同理，过点的切线方程为y=，

联立两切线可得交点的坐标为，

所以,又因为，所以MN中点纵坐标为1，即2

,k=,故直线的斜率为k=