题目内容
【题目】已知点,点
为曲线
上的动点,过
作
轴的垂线,垂足为
,满足
。
(1)求曲线的方程;
(2)直线与曲线
交于两不同点
,
( 非原点),过
,
两点分别作曲线
的切线,两切线的交点为
。设线段
的中点为
,若
,求直线
的斜率.
【答案】(1)(2)k=
【解析】
(1)将坐标化,化简求得结果.
(2)设直线的方程为:
,与抛物线方程联立得
,由韦达定理求得中点N的坐标,由导数的几何意义可求得过
点的切线方程,联立求得交点
的坐标,得到
,所以MN中点纵坐标为1,即2
,进而求得k.
(1)由得:
化简得曲线的方程为
.
(2)由题意可知直线l的斜率存在,
设直线的方程为:
,联立
得:
设,
,则
,
设,则
,
又曲线的方程为
,即y=
,
=
,
∴过点的切线斜率为
,切线方程为y-
,即y=
同理,过点的切线方程为y=
,
联立两切线可得交点的坐标为
,
所以,又因为
,所以MN中点纵坐标为1,即2
,k=
,故直线
的斜率为k=

【题目】近年来,我国工业经济发展迅速,工业增加值连年攀升,某研究机构统计了近十年(从2008年到2017年)的工业增加值(万亿元),如下表:
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
工业增加值 | 13.2 | 13.8 | 16.5 | 19.5 | 20.9 | 22.2 | 23.4 | 23.7 | 24.8 | 28 |
依据表格数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
5.5 | 20.6 | 82.5 | 211.52 | 129.6 |
(1)根据散点图和表中数据,此研究机构对工业增加值(万亿元)与年份序号
的回归方程类型进行了拟合实验,研究人员甲采用函数
,其拟合指数
;研究人员乙采用函数
,其拟合指数
;研究人员丙采用线性函数
,请计算其拟合指数,并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.(注:相关系数
与拟合指数
满足关系
).
(2)根据(1)的判断结果及统计值,建立关于
的回归方程(系数精确到0.01);
(3)预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.
附:样本
的相关系数
,
,
,
.
【题目】“难度系数”反映试题的难易程度,难度系数越大,题目得分率越高,难度也就越小.“难度系数”的计算公式为,其中,
为难度系数,
为样本平均失分,
为试卷总分(一般为100分或150分).某校高三年级的李老师命制了某专题共5套测试卷(每套总分150分),用于对该校高三年级480名学生进行每周测试.测试前根据自己对学生的了解,预估了每套试卷的难度系数,如下表所示:
试卷序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前预估难度系数 | 0.7 | 0.64 | 0.6 | 0.6 | 0.55 |
测试后,随机抽取了50名学生的数据进行统计,结果如下:
试卷序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
实测平均分 | 102 | 99 | 93 | 93 | 87 |
(1)根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分;
(2)从抽样的50名学生的5套试卷中随机抽取2套试卷,记这2套试卷中平均分超过96分的套数为,求
的分布列和数学期望;
(3)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差.设为第
套试卷的实测难度系数,并定义统计量
,若
,则认为本专题的5套试卷测试的难度系数预估合理,否则认为不合理.试检验本专题的5套试卷对难度系数的预估是否合理.