Question

【题目】已知过原点的动直线与圆 相交于不同的两点.

（1）求圆的圆心坐标；

（2）求线段的中点的轨迹的方程；

（3）是否存在实数，使得直线 与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

(1)将方程化为标准式方程，可得到圆心坐标；（2）设线段的中点，直线的方程为联立直线和圆的方程得到韦达定理，进而得到，，此时消去参数m即可得到轨迹方程；（3）结合第二问可得到曲线的轨迹，根据直线和圆的位置关系可得到满足题意的结果.

（1）圆 化为，所以圆的圆心坐标为

（2）设线段的中点，直线的方程为（易知直线的斜率存在），则得：

.解得：

消去得：

又解得：或

的轨迹的方程为

（3）由题意知直线表示过定点 ，斜率为的直线.

表示的是一段关于轴对称，起点为按顺时针方向运动到的圆弧（不包含端点）.

由条件得：而当直线与轨迹相切时，，解得（舍去）.

可得当时，直线与曲线只有一个交点。

综上所述，当时直线 与曲线只有一个交点.