题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数),将曲线C1上所有点的横坐标缩短为原来的
,纵坐标缩短为原来的
,得到曲线C2 , 在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为4ρsin(θ+
)+
=0.
(1)求曲线C2的极坐标方程及直线l与曲线C2交点的极坐标;
(2)设点P为曲线C1上的任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.
【答案】
(1)解:曲线C1的参数方程为 (α为参数),
可得曲线C1的参数方程为 (α为参数),
利用同角三角函数的基本关系消去α,
可得x2+y2﹣x﹣ =0,极坐标方程为ρ2﹣ρcosθ﹣
=0
直线l的极坐标方程为4ρsin(θ+ )+
=0,即4ρ(
sinθ+
cosθ)+
=0,
即2 x+2y+
=0.
联立方程可得交点坐标(﹣ ,0),(0,﹣
),
极坐标为( ,π),(
,
)
(2)解:设P(1+2cosα, sinα),
则点P到直线l的距离d= (tanθ=2),
∴点P到直线l的距离的最大值为
【解析】(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程.利用同角三角函数的基本关系消去α,把曲线的参数方程化为直角坐标方程,再求出交点的极坐标;(2)设点P(1+2cosα, sinα),求得点P到直线l的距离,由此求得d的最大值.
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