题目内容
【题目】三棱柱
中，侧棱与底面垂直，
，
，
分别是
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
平面
；
（3）求二面角
的余弦值.
【答案】⑴见解析
⑵见解析 ⑶
【解析】
试题（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证往往需要利用平几知识，如本题就利用三角形中位线定理得
（2）利用空间向量证明线面垂直，实际就是以算代证，即先求平面的一个法向量，再利用
与法向量关系关系求证（3）求二面角的大小，一般利用空间向量的数量积求解，先建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面的法向量，利用向量数量积求法向量的夹角余弦值，最后根据二面角与法向量夹角之间关系求值.
试题解析：（1）连接
，
，
在
中，∵
是
中点，∴，
又∵
平面
，
∴
平面.
（2）如图，以
为原点建立空间直角坐标系
.
则
，
，
，
，
，
，
，
.
设平面
的法向量
，
，
令
，则
，
，∴
，∴
，
∴
平面.
（3）设平面
的法向量为
，
，
，
令
，则
，
，
∴
，
∴
，
所求二面角
的余弦值为
.
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x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程
；
(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为
的雾霾天数．
