题目内容
【题目】已知直线经过抛物线
的焦点且与此抛物线交于
,
两点,
,直线
与抛物线
交于
,
两点,且
,
两点在
轴的两侧.
(1)证明:为定值;
(2)求直线的斜率的取值范围;
(3)若(
为坐标原点),求直线
的方程.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
.
【解析】分析:(1)可设l的方程为y=k(x﹣1),k≠0,联立,可得ky2﹣4y﹣4k=0,根据韦达定理即可证明,
(2)根据韦达定理和抛物线的性质可得k2>1,再联立,得x2﹣kx+k﹣4=0,根据M,N两点在y轴的两侧,可得△=k2﹣4(k﹣4)>0,即k<4,即可求出k的范围,
(3)设,
,则
,
,利用根与系数关系表示
,即可得到直线
的方程.
详解:(1)证明:由题意可得,直线的斜率存在,故可设
的方程为
,
联立,得
,则
为定值.
(2)解:由(1)知,,
,
则
,即
.
联立,得
,
∵,
两点在
轴的两侧,∴
,且
,∴
.
由及
可得
或
,
故直线的斜率的取值范围为
.
(3)解:设,
,则
,
,
∴
,
解得或
,又
,∴
,
故直线的方程为
.
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