题目内容
【题目】已知抛物线
,过直线
:
上任一点
向抛物线
引两条切线
(切点为
,且点
在
轴上方).
(1)求证:直线过定点,并求出该定点;
(2)抛物线上是否存在点
,使得
.
【答案】(1)证明见解析.
(2) 当或
时,抛物线上存在点B;当
时,抛物线上不存在点B.
【解析】
(1)先求得直线直线:
,再证明直线过定点.(2) 设
:
,联立直线和抛物线的方程得到
,代入
得
或
,即得
,所以当
或
时,抛物线上存在点B;
当时,抛物线上不存在点B.
(1)设.
当时,
,则
,所以直线AT的方程为:
.
代入点得
,所以
,又
,
所以,得
,同理
,
所以直线:
,所以直线
过定点
.
(2)因为直线过定点
,故设
:
,
由得
,所以
.
设,因为
,所以
,
所以,
即,
,
,
.又
,
所以,所以
,
所以或
.因为点B不在直线ST上,
所以.因为
,
所以当或
时,抛物线上存在点B;
当时,抛物线上不存在点B.
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