Question

19．对于函数f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的“滞点”．己知函数f（x）=$\frac{2{x}^{2}-a}{x-2a}$，若f（x）在x∈[-1，1]内存在“滞点”，求a的取值范围．

Answer 1

分析 直接利用新定义，列出方程，转化为函数的零点，利用二次函数的性质求解即可．

解答 解：f（x）=x 即$\frac{2{x}^{2}-a}{x-2a}=x$，
可得：2x²-a=x²-2ax．即x²+2ax-a=0在[-1，1]的范围内有解．
设 g（x）=x²+2ax-a=0，如果只有一个解：g（-1）•g（1）≤0，可得（1-3a）（1+a）≤0，
解得a≤-1或a$≥\frac{1}{3}$，
如果有两个解：可得$\left\{\begin{array}{l}-1≤-a≤1\\ g（a）≤0\\ g（-1）≥0\\ g（1）≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-1≤-a≤1\\ 3{a}^{2}-a≤0\\ 1-3a≥0\\ 1+a≥0\end{array}\right.$，解得：a∈$[0，\frac{1}{3}]$
综上：a∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．

点评 本题考查新定义的应用，函数与方程的关系，二次函数的性质的应用，考查计算能力．