Question

7．设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦点恰为圆C₂：（x$-\sqrt{3}$）²+y²=7的圆心．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设直线l与曲线C₁，C₂都只有一个公共点，记直线l与圆C₂的公共点为A，求A的坐标．

Answer 1

分析 （1）通过圆C₂：（x$-\sqrt{3}$）²+y²=7可知a²-b²=3，利用$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$、进而计算即得结论；
（2）通过设A（$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$cosα，$\sqrt{7}$sinα），直线l的方程为y-$\sqrt{7}$sinα=-$\frac{1}{tanα}$（x-$\sqrt{3}$-$\sqrt{7}$cosα），联立直线l与曲线C₁方程、利用根的判别式△=0，计算即得结论．

解答 解：（1）∵椭圆C₁的右焦点恰为圆C₂：（x$-\sqrt{3}$）²+y²=7的圆心，
∴a²-b²=3，
又∵椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴a²=4，b²=1，
∴椭圆C₁的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）依题意，设A（$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$cosα，$\sqrt{7}$sinα），则直线l的方程为：y-$\sqrt{7}$sinα=-$\frac{1}{tanα}$（x-$\sqrt{3}$-$\sqrt{7}$cosα），
联立直线l与曲线C₁方程，整理可知：（1+3cos²α）•x²-8（$\sqrt{7}$+$\sqrt{3}$cosα）cosα•x+4$（6+4co{s}^{2}α+2\sqrt{21}cosα）$=0，
∵直线l与曲线C₂只有一个公共点，
∴△=0，化简得：（1-cos²α）（3+$\sqrt{21}$cosα）=0，
解得：cosα=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$或cosα=±1（舍），
∴sinα=±$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=±$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴A（0，2）或A（0，-2）．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．