Question

9．比较下列各题中两个代数式值的大小：
（1）（2a+1）（a-3）与（a-6）（2a+7）+45；
（2）（x+1）（x²+$\frac{x}{2}$+1）与（x+$\frac{1}{2}$）（x²+x+1）；
（3）1与$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$；
（4）a²+b²与2a+2b-2；
（5）3（a²+2b²）与8ab．

Answer 1

分析 利用“作差法”与配方法即可得出．

解答 解：（1）（2a+1）（a-3）-[（a-6）（2a+7）+45]=（2a²-5a-3）-（2a²-5a+3）=-6＜0，（2a+1）（a-3）＜[（a-6）（2a+7）+45；
（2）（x+1）（x²+$\frac{x}{2}$+1）-（x+$\frac{1}{2}$）（x²+x+1）=x³$+\frac{3}{2}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}x$+1-（x³$+\frac{3}{2}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}x$+$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$＞0，∴（x+1）（x²+$\frac{x}{2}$+1）＞（x+$\frac{1}{2}$）（x²+x+1）；
（3）1-$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}+1}$≥0，∴1≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$；
（4）a²+b²-（2a+2b-2）=（a-1）²+（b-1）²≥0，∴a²+b²，≥2a+2b-2；
（5）3（a²+2b²）-8ab=2（a-b）²+（a-2b）²≥0，∴3（a²+2b²）≥8ab．

点评 本题考查了“作差法”比较两个数的大小、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．