题目内容
(本小题满分12分)
点M在椭圆
上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F.
(I)若圆M与y轴相交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形,求椭圆的方程;
(II)已知点F(1,0),设过点F的直线l交椭圆于C、D两点,若直线l绕点F任意转动时,恒有
成立,求实数
的取值范围.
点M在椭圆

(I)若圆M与y轴相交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形,求椭圆的方程;
(II)已知点F(1,0),设过点F的直线l交椭圆于C、D两点,若直线l绕点F任意转动时,恒有


(I)椭圆方程为
(II)a的取值范围是

(II)a的取值范围是

解:(I)
ABM是边长为2的正三角形,∴圆的半径r=2,
∴M到y轴的距离
…………(2分)
又圆M与x轴相切,∴当
∴
…………(4分)
∴

∴
解得a=3或a=-1(舍去),则
故所求椭圆方程为
…………(6分)
(II)(方法1)①当直线l垂直于x轴时,把x=1代入,得


解得
(舍去),即
…………(8分)
②当l不垂直x轴时,设
,
直线AB的方程为
得
则

得
恒成立.
…………(10分)

,
由题意得,
恒成立.
当
不是恒成立的.
当
,恒成立.
当
恒成立,
,

解得
综上,a的取值范围是
…………(12分)
(方法2)设
①当直线CD与x轴重合时,有

恒有
…………(8分)
②当直线C不与x轴重合时,设直线CD的方程为
整理得


恒为钝角,
则
恒成立 …………(10分)



又
恒成立,
即
恒成立.当
时,




解得
综上,a的取值范围是
…………(
12分)

∴M到y轴的距离

又圆M与x轴相切,∴当


∴


∴


故所求椭圆方程为

(II)(方法1)①当直线l垂直于x轴时,把x=1代入,得



解得


②当l不垂直x轴时,设

直线AB的方程为

得

则




…………(10分)


由题意得,

当

当

当






综上,a的取值范围是

(方法2)设

①当直线CD与x轴重合时,有




②当直线C不与x轴重合时,设直线CD的方程为

整理得




则




又


即









综上,a的取值范围是



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