题目内容

(本题满分14分)
已知函数(),.
(Ⅰ)当时,解关于的不等式:
(Ⅱ)当时,记,过点是否存在函数图象的切线?若存在,有多少条?若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若是使恒成立的最小值,对任意
试比较的大小(常数).
(I). (Ⅱ)这样的切线存在,且只有一条。
(Ⅲ)以
=.
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用,以及不等式的求解,以及最值的研究。
(1)因为当时,不等式等价于,进而得到解集
(2)假设存在这样的切线,设其中一个切点
∴切线方程:将点T代入得到结论。
(3)恒成立,所以,构造函数运用导数求解最值得到证明。
(I)当时,不等式等价于,解集为.      3分
(Ⅱ)假设存在这样的切线,设其中一个切点
∴切线方程:,将点坐标代入得:
,即,       ①
法1:设,则.………………6分
在区间上是增函数,在区间上是减函数,

,注意到在其定义域上的单调性知仅在内有且仅有一根方程①有且仅有一解,故符合条件的切线有且仅有一条. 8分.
法2:令(),考查,则
从而增,减,增. 故
,而,故上有唯一解.
从而有唯一解,即切线唯一.
法3:

所以单调递增。 又因为,所以方程
有必有一解,所以这样的切线存在,且只有一条。
(Ⅲ)恒成立,所以
,可得在区间上单调递减,
.                      10分
. 令
注意到,即
所以
=.              14分
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