题目内容
【题目】四边形
为某椭圆的内接矩形的充要条件是：它的四个顶点是椭圆的同心圆与它的四个交点.
【答案】见解析
【解析】
充分性：设
、
、
、
为椭圆
与它的某个同心圆
的交点，
为椭圆的长轴. 因为过圆心
，所以，是圆的对称轴. 于是，整个图形关于对称成轴对称. 故四边形
的一组对边与垂直. 同理可证，四边形的另一组对边与椭圆的短轴垂直. 因此，四边形是矩形.
必要性：设四边形是椭圆的内接矩形. 先证明四边形的边与椭圆的对称轴平行.
实际上，作矩形的对称轴交椭圆于点
、
. 将椭圆沿
翻转
得到椭圆
，则与有6个不同的交点、、、、、. 所以，与重合，即是椭圆的对称轴. 因为矩形的一组对边与平行，所以，四边形的一组对边与椭圆的对称轴平行. 不妨设
与椭圆的长轴平行. 由于椭圆关于其短轴对称，所以，
. 由充分性的证明可知，以
为半径的椭圆的同心圆与椭圆交成一个矩形，此矩形以为一条边. 但过点且与垂直的直线是唯一的，从而，以为一边的椭圆的内接矩形也是唯一的.
故、、、是椭圆的同心圆与椭圆的交点.
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