题目内容
【题目】已知函数
是奇函数．
（1）求实数
的值；
（2）用定义证明函数
在
上的单调性；
（3）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）由奇函数性质得
，解得．注意验证（2）注意设时两数的任意性，作差要进行因式分解，提取公因式，最后确定各个因子符号，得差的符号，确定单调性（3）根据奇偶性将不等式转化为
，再根据函数单调性得
，利用参变分离转化为对应函数最值问题：
最小值，由二次函数单调性确定
最小值，即得实数
的取值范围．
试题解析：解：（1）∵函数
的定义域为
，且是奇函数，
∴，解得．
此时
，满足
，即是奇函数．
∴．
（2）任取
，且
，则
，
，
于是
，
即
，故函数在
上是增函数．
（3）由
及是奇函数，知，
又由在上是增函数，得，即对任意的
恒成立，
∵当
时，取最小值
，∴
．
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