题目内容
【题目】已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）当a=
时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数
. 
。若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）a的范围是
.
【解析】试题分析：（1）由题意得 f（x）=
x2+lnx， 
，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．
（2）由题意得：令
f（x）
f2（x）=
，对x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=
对x∈（1，+∞）恒成立， 
分类讨论当 
或 
时两种情况求函数的最大值，可得到a的范围．又因为h′（x）=﹣x+2a﹣
=
，
h（x）在（1，+∞）上为减函数，可得到a的另一个范围，综合可得a的范围．
试题解析：
（1）当 
时，
，
；
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，
∴
，
．
（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）令 
＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
且h（x）=f1（x）﹣f（x）=
＜0对x∈（1，+∞）恒成立，
∵
若 
，令p′（x）=0，得极值点x1=1，
，
当x2＞x1=1，即 
时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，
此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
若 
，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足 
，
所以 
≤a≤
．
又因为h′（x）=﹣x+2a﹣
=
＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，
h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤
综合可知a的范围是[，]．
