题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
,
分别是
,
的中点.
(Ⅰ)证明:平面
;
(Ⅱ)若这个三棱柱的底面是边长为2的等边三角形,側面都是正方形,求五面体的体积.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由条件证明为平行四边形,故得
,然后再由线面平行的判定定理可得结论成立.(Ⅱ)方法一:取
的中点为
,连接
,然后证明
为四棱锥
的高,于是可得所求体积.方法二:取
的中点
,连接
,根据条件可证得
是四棱锥
的高,且
,然后根据
求解.
(Ⅰ)证明:设的中点为
,连接
,
.
∵,
分别为
,
的中点,
∴且
.
∵为
的中点,
∴且
.
∴且
,
∴为平行四边形,
∴.
∵平面
,
平面
,
∴平面
.
(Ⅱ)解法一:取的中点为
,连接
,
∵为等边三角形,
∴.
∵侧面是正方形,
∴,
.
又平面
,且
,
∴平面
.
∵平面
,
∴,
又,
∴平面
,即
为四棱锥
的高.
故所求体积
.
(Ⅱ)解法二:取的中点
,连接
,
∵为等边三角形,
∴.
∵侧面都是正方形,
∴,
.
∵平面
且
,
∴平面
.
∵平面
,
∴,
∵,
∴平面
.
∴是四棱锥
的高,且
.
故所求体积
.
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