题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左顶点为
，右焦点为
，
为椭圆
上两点，圆
.
（1）若
轴，且满足直线
与圆
相切，求圆的方程；
（2）若圆的半径为
，点满足
，求直线
被圆截得弦长的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题（1）确定圆
的方程，就是确定半径的值，因为直线
与圆相切，所以先确定直线方程，即确定点
坐标：因为
轴，所以
，根据对称性，可取
，则直线的方程为
，根据圆心到切线距离等于半径得
（2）根据垂径定理，求直线
被圆截得弦长的最大值，就是求圆心到直线的距离的最小值. 设直线的方程为
，则圆心到直线的距离
，利用
得
，化简得
，利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达定理得
，因此
，当
时，
取最小值，取最大值为.
试题解析：解：（1）
因为椭圆
的方程为
，所以
，
.
因为轴，所以，而直线与圆相切，
根据对称性，可取，
则直线的方程为，
即
.
由圆与直线相切，得，
所以圆的方程为.
（2）
易知，圆的方程为
.
①当
轴时，
，
所以
，
此时得直线被圆截得的弦长为
.
②当与
轴不垂直时，设直线的方程为，
，
首先由，得，
即
，
所以（*）.
联立
，消去，得
，
将
代入（*）式，
得.
由于圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为
，故当时，
有最大值为.
综上，因为
，所以直线被圆截得的弦长的最大值为.
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