题目内容
【题目】已知
，
分别为椭圆
的左、右焦点，点
在椭圆上，且
轴，
的周长为6.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，设
为坐标原点，是否存在常数
，使得
恒成立？请说明理由.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）当
时，
【解析】
（Ⅰ）由三角形周长可得
，求出
，再根据
即可写出椭圆标准方程（Ⅱ）假设存在常数
满足条件，分两类讨论（1）当过点
的直线
的斜率不存在时，写出A,B坐标，代入可得（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为
，设
，
，联立方程组，利用根与系数的关系代入
中化简即可求出.
（Ⅰ）由题意，
，
，
∵
的周长为6，∴
∴
，
∴椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）假设存在常数满足条件.
（1）当过点的直线的斜率不存在时，
，
，
∴ 
，
∴当时，；
（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，
联立
，化简得
，
∴
，
.
∴
∴
，解得：即时，；
综上所述，当时，.
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