题目内容
【题目】已知,
分别为椭圆
的左、右焦点,点
在椭圆上,且
轴,
的周长为6.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点的直线与椭圆
交于
,
两点,设
为坐标原点,是否存在常数
,使得
恒成立?请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)当
时,
【解析】
(Ⅰ)由三角形周长可得,求出
,再根据
即可写出椭圆标准方程(Ⅱ)假设存在常数
满足条件,分两类讨论(1)当过点
的直线
的斜率不存在时,写出A,B坐标,代入
可得
(2)当过点
的直线
的斜率存在时,设直线
的方程为
,设
,
,联立方程组,利用根与系数的关系代入
中化简即可求出
.
(Ⅰ)由题意,,
,
∵的周长为6,∴
∴,
∴椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)假设存在常数满足条件.
(1)当过点的直线
的斜率不存在时,
,
,
∴
,
∴当时,
;
(2)当过点的直线
的斜率存在时,设直线
的方程为
,设
,
,
联立,化简得
,
∴,
.
∴
∴,解得:
即
时,
;
综上所述,当时,
.

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