题目内容
【题目】正项数列:,满足:
是公差为
的等差数列,
是公比为2的等比数列.
(1)若,求数列
的所有项的和
;
(2)若,求
的最大值;
(3)是否存在正整数,满足
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)84;(2)1033;(3)存在,
【解析】
(1)由题意可得:,
即为:2,4,6,8,10,12,14,16,8,4; 可得
的值;
(2)由题意可得,故有
;即
,即
必是2的整数幂,要
最大,
必需最大,
,可得出
的最大值;
(3)由是公差为
的等差数列,
是公比为2的等比数列,可得
与
,可得k与m的方程,一一验算k的值可得答案.
解:(1)由已知,
故为:2,4,6,8,10,12,14,16;
公比为2,则对应的数为2,4,8,16,
从而即为:2,4,6,8,10,12,14,16,8,4;
此时
(2)是首项为2,公差为2 的等差数列,
故,从而
,
而首项为2,公比为2的等比数列且
,
故有;即
,即
必是2的整数幂
又,要
最大,
必需最大,
,故
的最大值为
,
所以,即
的最大值为1033
(3)由数列是公差为
的等差数列知,
,而
是公比为2的等比数列,则
,故
,即
,
又,
,则
,即
,则
,即
显然,则
,所以
,将
,代入验证知,
当时,上式右端为8,等式成立,此时
,
综上可得:当且仅当时,存在
满足等式
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