题目内容

6.方程2sin(x+$\frac{π}{3}$)=1在区间[0,2π]上的所有解的和等于$\frac{7π}{3}$.

分析 由条件求得sin(x+$\frac{π}{3}$)=$\frac{1}{2}$,由此在区间[0,2π]上求得x的值,可得所有解的和.

解答 解:∵2sin(x+$\frac{π}{3}$)=1,∴sin(x+$\frac{π}{3}$)=$\frac{1}{2}$.
由x∈[0,2π],可得x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$,$\frac{7π}{3}$],∴x+$\frac{π}{3}$=0或x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$,或x+$\frac{π}{3}$=$\frac{13π}{6}$,
解得 x=0,或x=$\frac{π}{2}$,或x=$\frac{11π}{6}$,
故方程在区间[0,2π]上的所有解的和等于0+$\frac{π}{2}$+$\frac{11π}{6}$=$\frac{7π}{3}$,
故答案为:$\frac{7π}{3}$.

点评 本题主要考查三角方程的解法,正弦函数的图象,属于基础题.

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