Question

5．已知命题P：方程x²+y²+2ax+a=0表示圆；命题Q：方程ax²+2y²=1表示焦点在x轴上的椭圆，若P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题P：方程（x+a）²+y²=a²-a表示圆，可得a²-a＞0，解得a范围；命题Q：方程$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{a}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，可得$\frac{1}{a}＞\frac{1}{2}$，解得a范围．若P∧Q为真命题，求出a范围，即可得出．

解答 解：命题P：方程x²+y²+2ax+a=0即（x+a）²+y²=a²-a表示圆，∴a²-a＞0，解得a＞1或a＜0；
命题Q：方程ax²+2y²=1即$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{a}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴$\frac{1}{a}＞\frac{1}{2}$，解得0＜a＜2．
若P∧Q为真命题，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜0}\\{0＜a＜2}\end{array}\right.$，解得1＜a＜2．
∵P∧Q为假命题，
∴a≤1或a≥2．
∴实数a的取值范围是a≤1或a≥2．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、圆与椭圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．