Question

4．不等式e^x≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为e．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）=e^x-kx≥0恒成立，即有f（x）_min≥0，求出f（x）的导数，求得单调区间，讨论k，可得最小值，解不等式可得k的最大值．

解答 解：不等式e^x≥kx对任意实数x恒成立，即为
f（x）=e^x-kx≥0恒成立，
即有f（x）_min≥0，
由f（x）的导数为f′（x）=e^x-k，
当k≤0，e^x＞0，可得f′（x）＞0恒成立，f（x）递增，无最大值；
当k＞0时，x＞lnk时f′（x）＞0，f（x）递增；x＜lnk时f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=lnk处取得最小值，且为k-klnk，
由k-klnk≥0，解得k≤e，
即k的最大值为e，
故答案为：e．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数求最值，考查运算能力，属于中档题．