题目内容

长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=
2
,AB=BC=2,O是底面对角线的交点.
(Ⅰ)求证:B1D1平面BC1D;
(Ⅱ)求证:A1O⊥平面BC1D;
(Ⅲ)求三棱锥A1-DBC1的体积.
(Ⅰ)证明:依题意:B1D1BD,且B1D1在平面BC1D外.(2分)
∴B1D1平面BC1D(3分)
(Ⅱ)证明:连接OC1
∵BD⊥AC,AA1⊥BD
∴BD⊥平面ACC1A1(4分)
又∵O在AC上,∴A1O在平面ACC1A1
∴A1O⊥BD(5分)
∵AB=BC=2∴AC=A1C1=2
2

OA=
2

∴Rt△AA1O中,A1O=
AA12+OA2
=2
(6分)
同理:OC1=2
∵△A1OC1中,A1O2+OC12=A1C12
∴A1O⊥OC1(7分)
∴A1O⊥平面BC1D(8分)
(Ⅲ)∵A1O⊥平面BC1D
∴所求体积V=
1
3
A1O•
1
2
•BD•OC1
(10分)
=
1
3
•2•
1
2
•2
2
•2=
4
2
3
(12分)
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