题目内容
长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=
,AB=BC=2,O是底面对角线的交点.
(Ⅰ)求证:B1D1∥平面BC1D;
(Ⅱ)求证:A1O⊥平面BC1D;
(Ⅲ)求三棱锥A1-DBC1的体积.

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(Ⅰ)求证:B1D1∥平面BC1D;
(Ⅱ)求证:A1O⊥平面BC1D;
(Ⅲ)求三棱锥A1-DBC1的体积.

(Ⅰ)证明:依题意:B1D1∥BD,且B1D1在平面BC1D外.(2分)
∴B1D1∥平面BC1D(3分)
(Ⅱ)证明:连接OC1
∵BD⊥AC,AA1⊥BD
∴BD⊥平面ACC1A1(4分)
又∵O在AC上,∴A1O在平面ACC1A1上
∴A1O⊥BD(5分)
∵AB=BC=2∴AC=A1C1=2
∴OA=
∴Rt△AA1O中,A1O=
=2(6分)
同理:OC1=2
∵△A1OC1中,A1O2+OC12=A1C12
∴A1O⊥OC1(7分)
∴A1O⊥平面BC1D(8分)
(Ⅲ)∵A1O⊥平面BC1D
∴所求体积V=
•A1O•
•BD•OC1(10分)
=
•2•
•2
•2=
(12分)

∴B1D1∥平面BC1D(3分)
(Ⅱ)证明:连接OC1
∵BD⊥AC,AA1⊥BD
∴BD⊥平面ACC1A1(4分)
又∵O在AC上,∴A1O在平面ACC1A1上
∴A1O⊥BD(5分)
∵AB=BC=2∴AC=A1C1=2
2 |
∴OA=
2 |
∴Rt△AA1O中,A1O=
AA12+OA2 |
同理:OC1=2
∵△A1OC1中,A1O2+OC12=A1C12
∴A1O⊥OC1(7分)
∴A1O⊥平面BC1D(8分)
(Ⅲ)∵A1O⊥平面BC1D
∴所求体积V=
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1 |
2 |
=
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3 |
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