Question

如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45，点E、F分别为棱AB、PD的中点．

（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求三棱锥C－BEP的体积．

Answer 1

（1）详见解析；（2）三棱锥的体积为.

试题分析：（1）求证：∥平面，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，本题欲证∥平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，取的中点，连接，易证，从而得∥平面；（2）求三棱锥的体积，三棱锥的体积可转化成三棱锥的体积，而底面，从而即为三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式进行求解即可．
试题解析：（1）证明：取PC的中点G，连接GF，因为F为PD的中点，
所以，GF∥CD且又E为AB的中点，ABCD是正方形，
所以，AE∥CD且故AE∥GF且
所以，AEGF是平行四边形，故AF∥EG，而平面，
平面，所以，AF∥平面.
（2）因为PA⊥底面ABCD，所以，PA是三棱锥P-EBC的高，PA⊥AD，PA＝2，
∠PDA=45⁰，所以，AD=2，正方形ABCD中，E为AB的中点，所以，EB=1，故的面积为1，故.
故三棱锥C－BEP的体积为.