题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)记,试判断函数
的极值点的情况;
(Ⅱ)若有且仅有两个整数解,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)求导后可知的符号由
的符号决定;根据
的单调性,结合存在性定理可知存在唯一的
,使得
,从而得到
得单调性,根据极值与单调性的关系可确定极值点;(Ⅱ)将所求不等式化为
;当
和
时,根据(Ⅰ)的结论可验证出都有无穷多个整数解,不合题意;当
时,若
,由
时,
可知无整数解,不合题意;若
,可知
,解不等式组求得结果.
(Ⅰ)由得:
设,则
在
上单调递增
又,
存在唯一的
,使得
,即
当
时,
;当
时,
在
上单调递减;在
上单调递增
为
的极小值点,无极大值点
(Ⅱ)由得:
,即
①当时,
恒成立,
有无穷多个整数解,不合题意
②当时,
,
,
当
时,由(Ⅰ)知:
有无穷多个整数解,即
有无穷多个整数解,不合题意
③当时,
i.当时,
,又
两个整数解为:
,解得:
ii.当时,
当时,由(Ⅰ)知:
无整数解,不合题意
综上所述:
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