Question

【题目】已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

（1）求证：不论 为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD ?

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.

∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.

∵ ＝λ(0＜λ＜1)，

∴不论λ为何值，恒有EF∥CD.

∴EF⊥平面ABC，EF 平面BEF.

∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC

（2）由(1)知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.

∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，

∴BD＝ ，AB＝ tan60°＝ .

∴AC＝ ＝ .

由AB2＝AE·AC，得AE＝ .∴λ＝ ＝ .

故当λ＝ 时，平面BEF⊥平面ACD

【解析】(1)由已知根据平行线分线段成比例定理可得EF∥CD.，进而得出EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理得到平面BEF⊥平面ABC。(2)由面面垂直的性质定理可得BE⊥平面ACD，则BE⊥AC故只须让所求λ的值能证明BE⊥AC即可，解三角形ABC求出其值即可。